37. В правильной четырехугольной пирамиде длина стороны основания равна 14 см, длина бокового ребра 10см. Найдите полную площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \). Площадь боковой поверхности равна \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot k \), где \( k \) — апофема.

1. Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 14^2 = 196 \) см².
2. Найдем апофему \( k \). Апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. В условии не дана высота, но мы можем найти апофему через боковое ребро \( l \) и половину стороны основания \( \frac{a}{2} \), так как они образуют прямоугольный треугольник.
3. \( k^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \)
4. \( k^2 + (\frac{14}{2})^2 = 10^2 \)
5. \( k^2 + 7^2 = 100 \)
6. \( k^2 + 49 = 100 \)
7. \( k^2 = 100 - 49 = 51 \)
8. \( k = \sqrt{51} \) см.
9. Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 14 = 56 \) см.
10. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot \sqrt{51} = 28\sqrt{51} \) см².
11. Полная площадь поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 196 + 28\sqrt{51} \) см².

Ответ: \( 196 + 28\sqrt{51} \) см².