371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠B=∠D и ∠BAC=∠ACD; б) AB ∥ CD, ∠A=∠C.

а) По условию ∠BAC=∠ACD. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC, поэтому AB ∥ CD.

В четырёхугольнике сумма углов равна 360°. Так как ∠B=∠D, получаем 2∠B+∠A+∠C=360°. Из AB ∥ CD следует, что внутренние односторонние углы при секущей BC дополнительны: ∠B+∠C=180°. Тогда ∠A+∠B=180°, откуда AD ∥ BC (внутренние односторонние углы при секущей AB дополнительны).

Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

б) По условию AB ∥ CD, поэтому внутренние односторонние углы при секущей BC дополнительны: ∠B+∠C=180°. По условию ∠A=∠C, следовательно, ∠A+∠B=180°. Значит, AD ∥ BC, поскольку внутренние односторонние углы при секущей AB дополнительны.

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.