379. Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Question

Вопрос:

Фото задания

379. Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Accepted Answer

Так как \(BK \perp AC\) и \(DM \perp AC\), то по свойству перпендикулярных прямых \(BK \parallel DM\).

Обозначим через \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AD}=\mathbf d\). Тогда для параллелограмма \(ABCD\):

\[\vec{AC}=\mathbf b+\mathbf d.\]

Пусть \(K\) и \(M\) — проекции точек \(B\) и \(D\) на прямую \(AC\). Сумма проекций векторов \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\) на направление \(AC\) равна проекции вектора \(\mathbf b+\mathbf d=\vec{AC}\), то есть

\[\vec{AK}+\vec{AM}=\vec{AC}.\]

Следовательно, точка \(A\) и точка \(C\) являются концами диагонали, а точка пересечения диагоналей \(BD\) и \(KM\) делит обе диагонали пополам: середины отрезков \(BD\) и \(KM\) совпадают.

Значит, диагонали четырёхугольника \(BMDK\) взаимно делятся пополам. Следовательно, \(BMDK\) — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник \(BMDK\) является параллелограммом.