38. Используя приём представления дробей в виде разности, вычислите: а) 1/(3·4) + 1/(4·5) + 1/(5·6) + 1/(6·7); б) 1/(10·11) + 1/(11·12) + 1/(12·13) + … + 1/(18·19) + 1/(19·20); в) 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20; г) 1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99.

Используем разложения \(\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\) и \(\frac1{(2k+1)(2k+3)}=\frac12(\frac1{2k+1}-\frac1{2k+3})\).

1. а) Сокращая соседние слагаемые, получаем \(\frac13-\frac17=\frac4{21}\).
2. б) Сумма сокращается до \(\frac1{10}-\frac1{20}=\frac1{20}\).
3. в) \(\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{20}=1-\frac15=\frac45\).
4. г) \(\frac12(\frac13-\frac{13}{?})\) — точнее, сумма равна \(\frac12(\frac13-\frac1{13})=\frac5{39}\).

Ответ: а) 4/21; б) 1/20; в) 4/5; г) 5/39.