380. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P, Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Из равенств AM = CP и BM = DP получаем AB = AM + MB = CP + PD = CD. Аналогично, из BN = DQ и NC = QA следует BC = BN + NC = DQ + QA = DA.

В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон равны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=u\) и \(\overrightarrow{AD}=v\). Пусть \(AM=CP=x\), а \(BN=DQ=y\). Тогда, учитывая равенство противоположных сторон параллелограмма, положения точек можно выразить так: \(M=A+\frac{x}{AB}u\), \(N=A+u+\frac{y}{BC}v\), \(P=A+u+v-\frac{x}{AB}u\), \(Q=A+v-\frac{y}{BC}v\).

Отсюда \(\overrightarrow{MN}=\left(1-\frac{x}{AB}\right)u+\frac{y}{BC}v=\overrightarrow{QP}\), а \(\overrightarrow{NP}=-\frac{x}{AB}u+\left(1-\frac{y}{BC}\right)v=\overrightarrow{MQ}\). Значит, противоположные стороны MNPQ попарно параллельны и равны, поэтому MNPQ — параллелограмм.

Ответ: ABCD и MNPQ — параллелограммы.