389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD ∥ BC.

а) Углы при основании равны.

1. Пусть углы при основании AD равны: ∠A = ∠D.
2. Опустим из B и C перпендикуляры BE и CF на AD. Так как AD ∥ BC, расстояния между параллельными прямыми равны: BE = CF.
3. Прямоугольные треугольники ABE и DCF имеют равный катет и равные острые углы при A и D, поэтому они равны. Следовательно, их гипотенузы равны: AB = CD.

Итак, боковые стороны равны, следовательно, трапеция равнобедренная.

б) Диагонали равны.

1. Пусть AC = BD. Рассмотрим треугольники BAD и CDA.
2. В них BD = AC по условию, AD — общая сторона. Кроме того, ∠BAD = ∠CDA, поскольку это накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = CD.

Следовательно, трапеция равнобедренная.