39. В равнобедренном ДАВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что ДАОС - равнобедренный.

Доказательство:

1. Дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \). Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \), а \( CO \) — биссектриса \( \angle BCA \).

3. По определению биссектрисы, \( \angle BAO = \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC \) и \( \angle BCO = \angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA \).

4. Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то и половины этих углов равны: \( \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BCA \).

5. Следовательно, \( \angle OAC = \angle OCA \).

6. В \( \triangle AOC \) стороны \( AO \) и \( CO \) лежат против углов \( \angle OCA \) и \( \angle OAC \) соответственно. Так как \( \angle OAC = \angle OCA \), то стороны, лежащие против этих углов, равны: \( AO = CO \).

7. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, \( \triangle AOC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.