393 Бинарная случайная величина X имеет распределение Бернулли X ~ (0 1 q p), где 0 ≤ p ≤ 1 и q = 1 – p. а) Постройте график зависимости дисперсии DX этой случайной величины от значения p.

Решение:

Бинарная случайная величина \( X \) имеет распределение Бернулли с параметрами \( n=1 \) и \( p \).

\( P(X=1) = p \) (успех)

\( P(X=0) = q = 1-p \) (неудача)

а) График зависимости дисперсии \( D(X) \) от \( p \):

Формула дисперсии для распределения Бернулли (где \( n=1 \)):

\[ D(X) = np(1-p) = 1 \cdot p \cdot (1-p) = p(1-p) \]

Чтобы построить график \( D(X) = p(1-p) \) как функцию от \( p \) (где \( 0 \le p \le 1 \)), рассмотрим эту функцию как параболу \( y = -p^2 + p \).

Эта парабола имеет ветви, направленные вниз, и пересекает ось \( p \) в точках \( p=0 \) и \( p=1 \).

Вершина параболы находится в точке \( p = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \).

Максимальное значение дисперсии достигается при \( p=0,5 \):

\[ D(X)_{max} = 0,5(1-0,5) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \]

График будет выглядеть как часть параболы, лежащая выше оси \( p \), с вершиной в точке (0.5, 0.25) и пересекающая ось \( p \) в точках (0, 0) и (1, 0).

Ответ: график зависимости дисперсии \( D(X) = p(1-p) \) от \( p \) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0.5, 0.25) \) и пересекающую ось \( p \) в точках \( (0, 0) \) и \( (1, 0) \).