395 Подберите неизвестное значение x в распределении случайной величины Y так, чтобы дисперсия была наименьшей.

Решение:

Дисперсия случайной величины Y вычисляется по формуле: \( D(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 \). Чтобы дисперсия была наименьшей, нам нужно минимизировать функцию \( D(Y) \) по переменной \( x \).

Для случая а):

Матрица распределения:

\[ Y \sim \begin{pmatrix} -2 & x & 2 \\ 0,4 & 0,5 & 0,1 \end{pmatrix} \]

Вероятности суммируются к 1: \( 0,4 + 0,5 + 0,1 = 1 \).

Математическое ожидание \( E(Y) \):

\[ E(Y) = (-2)(0,4) + (x)(0,5) + (2)(0,1) = -0,8 + 0,5x + 0,2 = 0,5x - 0,6 \]

Математическое ожидание \( E(Y^2) \):

\[ E(Y^2) = (-2)^2(0,4) + (x)^2(0,5) + (2)^2(0,1) = 4(0,4) + 0,5x^2 + 4(0,1) = 1,6 + 0,5x^2 + 0,4 = 0,5x^2 + 2 \]

Дисперсия \( D(Y) \):

\[ D(Y) = (0,5x^2 + 2) - (0,5x - 0,6)^2 \]

\[ D(Y) = 0,5x^2 + 2 - (0,25x^2 - 0,6x + 0,36) \]

\[ D(Y) = 0,5x^2 + 2 - 0,25x^2 + 0,6x - 0,36 \]

\[ D(Y) = 0,25x^2 + 0,6x + 1,64 \]

Чтобы найти минимум, возьмем производную по \( x \) и приравняем к нулю:

\[ D'(Y) = 2(0,25)x + 0,6 = 0,5x + 0,6 \]

\[ 0,5x + 0,6 = 0 \implies 0,5x = -0,6 \implies x = -1,2 \]

Для случая б):

Матрица распределения:

\[ Y \sim \begin{pmatrix} 0 & x & 2 \\ 0,1 & 0,7 & 0,2 \end{pmatrix} \]

Вероятности суммируются к 1: \( 0,1 + 0,7 + 0,2 = 1 \).

Математическое ожидание \( E(Y) \):

\[ E(Y) = (0)(0,1) + (x)(0,7) + (2)(0,2) = 0 + 0,7x + 0,4 = 0,7x + 0,4 \]

Математическое ожидание \( E(Y^2) \):

\[ E(Y^2) = (0)^2(0,1) + (x)^2(0,7) + (2)^2(0,2) = 0 + 0,7x^2 + 4(0,2) = 0,7x^2 + 0,8 \]

Дисперсия \( D(Y) \):

\[ D(Y) = (0,7x^2 + 0,8) - (0,7x + 0,4)^2 \]

\[ D(Y) = 0,7x^2 + 0,8 - (0,49x^2 + 0,56x + 0,16) \]

\[ D(Y) = 0,7x^2 + 0,8 - 0,49x^2 - 0,56x - 0,16 \]

\[ D(Y) = 0,21x^2 - 0,56x + 0,64 \]

Чтобы найти минимум, возьмем производную по \( x \) и приравняем к нулю:

\[ D'(Y) = 2(0,21)x - 0,56 = 0,42x - 0,56 \]

\[ 0,42x - 0,56 = 0 \implies 0,42x = 0,56 \implies x = \frac{0,56}{0,42} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3} \]

Ответ: а) x = -1,2; б) x = 4/3.