397 Бросают игральные кости в форме кубика, додекаэдра и икосаэдра. Грани костей пронумерованы натуральными числами от 1 до 6, от 1 до 12 и от 1 до 20 соответственно. Для каждой кости вычисляют стандартное отклонение s числа выпавших очков. Для какой кости все возможные значения попадают в интервал длиной: а) 2s; б) 3s; в) 4s?

Решение:

Для каждой кости найдем математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсию \( D(X) \), а затем стандартное отклонение \( s = \sqrt{D(X)} \). Интервал, в который попадают все возможные значения, равен \( X_{max} - X_{min} \).

1. Кубик (6 граней):

Возможные значения: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}

\[ E(X) = \frac{1+6}{2} = 3,5 \]

\[ D(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{6^2-1}{12} = \frac{35}{12} \approx 2,9167 \]

\[ s = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1,7078 \]

Интервал значений: \( 6 - 1 = 5 \).

а) \( 2s \approx 2 \cdot 1,7078 = 3,4156 \) (не равно 5)

б) \( 3s \approx 3 \cdot 1,7078 = 5,1234 \) (близко к 5, но больше)

в) \( 4s \approx 4 \cdot 1,7078 = 6,8312 \) (больше 5)

2. Додекаэдр (12 граней):

Возможные значения: \( \{1, 2, ..., 12 \}

\[ E(X) = \frac{1+12}{2} = 6,5 \]

\[ D(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{12^2-1}{12} = \frac{143}{12} \approx 11,9167 \]

\[ s = \sqrt{\frac{143}{12}} \approx 3,452 \]

Интервал значений: \( 12 - 1 = 11 \).

а) \( 2s \approx 2 \cdot 3,452 = 6,904 \) (не равно 11)

б) \( 3s \approx 3 \cdot 3,452 = 10,356 \) (близко к 11)

в) \( 4s \approx 4 \cdot 3,452 = 13,808 \) (больше 11)

3. Икосаэдр (20 граней):

Возможные значения: \( \{1, 2, ..., 20 \}

\[ E(X) = \frac{1+20}{2} = 10,5 \]

\[ D(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{20^2-1}{12} = \frac{399}{12} \approx 33,25 \]

\[ s = \sqrt{\frac{399}{12}} \approx 5,766 \]

Интервал значений: \( 20 - 1 = 19 \).

а) \( 2s \approx 2 \cdot 5,766 = 11,532 \) (не равно 19)

б) \( 3s \approx 3 \cdot 5,766 = 17,298 \) (близко к 19)

в) \( 4s \approx 4 \cdot 5,766 = 23,064 \) (больше 19)

Замечание: Для равномерно распределенной случайной величины на отрезке \( [a, b] \) интервал \( b-a \) обычно больше \( 3s \) и меньше \( 4s \). Здесь мы сравниваем длину всего диапазона значений с \( ks \).

Точное значение интервала: \( X_{max} - X_{min} = n - 1 \).

Для кубика: \( 6 - 1 = 5 \).

Для додекаэдра: \( 12 - 1 = 11 \).

Для икосаэдра: \( 20 - 1 = 19 \).

Проверим, какой интервал \( k s \) лучше всего соответствует \( n-1 \).

Кубик (n=6, n-1=5, s≈1.7078):

2s ≈ 3.4156 (расхождение |5-3.4156| = 1.5844)

3s ≈ 5.1234 (расхождение |5-5.1234| = 0.1234)

4s ≈ 6.8312 (расхождение |5-6.8312| = 1.8312)

Додекаэдр (n=12, n-1=11, s≈3.452):

2s ≈ 6.904 (расхождение |11-6.904| = 4.096)

3s ≈ 10.356 (расхождение |11-10.356| = 0.644)

4s ≈ 13.808 (расхождение |11-13.808| = 2.808)

Икосаэдр (n=20, n-1=19, s≈5.766):

2s ≈ 11.532 (расхождение |19-11.532| = 7.468)

3s ≈ 17.298 (расхождение |19-17.298| = 1.702)

4s ≈ 23.064 (расхождение |19-23.064| = 4.064)

Лучшее соответствие достигается для кубика с интервалом 3s. Однако, если задача подразумевает, что интервал \( ks \) должен покрывать ВСЕ возможные значения, то он должен быть больше или равен \( n-1 \).

а) \( 2s \) не покрывает ни один диапазон.

б) \( 3s \) покрывает диапазон кубика (5.12 > 5) и додекаэдра (10.356 < 11, не покрывает), икосаэдра (17.298 < 19, не покрывает).

в) \( 4s \) покрывает все диапазоны: кубика (6.83 > 5), додекаэдра (13.8 > 11), икосаэдра (23.06 > 19).

Если вопрос в том, для какой кости интервал \( ks \) НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО РАЗ БЛИЗОК к \( n-1 \), то для кубика это \( 3s \).

Если вопрос в том, какой интервал \( ks \) ПОКРЫВАЕТ все возможные значения:

а) \( 2s \) - ни для одной кости.

б) \( 3s \) - только для кубика (5.1234 > 5).

в) \( 4s \) - для всех трех костей (6.83>5, 13.8>11, 23.06>19).

В контексте задач вероятности, обычно ищут интервал, который покрывает значения. Воспользуемся этим подходом.

Ответ: а) ни для одной кости; б) для кубика; в) для всех костей.