399. Производится серия из n испытаний Бернулли. Выразите формулой число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению: а) 2 или 3 успехов; б) не более 5 успехов; в) 4, 6 или 9 успехов; г) более n - 4 успехов; д) менее 4 неудач; е) 2, 3 или 4 неудач.

Давайте разберем каждое из условий задачи и запишем формулу для количества элементарных событий. **Основные понятия:** * **Испытания Бернулли:** Это последовательность независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода: успех или неудача. Вероятность успеха (p) одинакова для всех испытаний. * **Число сочетаний:** Число способов выбрать k элементов из n, обозначается как C(n, k) или $$\binom{n}{k}$$ и вычисляется по формуле: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ **Решения:** а) **2 или 3 успеха** - Количество способов получить 2 успеха из n: $$\binom{n}{2}$$ - Количество способов получить 3 успеха из n: $$\binom{n}{3}$$ - Общее количество: $$\binom{n}{2} + \binom{n}{3}$$ б) **Не более 5 успехов** - Нужно сложить количество способов получить 0, 1, 2, 3, 4 или 5 успехов: $$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5}$$ в) **4, 6 или 9 успехов** - Количество способов получить 4 успеха: $$\binom{n}{4}$$ - Количество способов получить 6 успехов: $$\binom{n}{6}$$ - Количество способов получить 9 успехов: $$\binom{n}{9}$$ - Общее количество: $$\binom{n}{4} + \binom{n}{6} + \binom{n}{9}$$ г) **Более n - 4 успехов** - Это значит, что число успехов может быть n-3, n-2, n-1 или n. - Общее количество: $$\binom{n}{n-3} + \binom{n}{n-2} + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}$$ или $$\binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}$$ д) **Менее 4 неудач** - Менее 4 неудач означает 0, 1, 2 или 3 неудачи. Это эквивалентно n, n-1, n-2, n-3 успехов. Значит, это равносильно случаю (г). - Общее количество: $$\binom{n}{n} + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n-2} + \binom{n}{n-3}$$ или $$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$$ е) **2, 3 или 4 неудачи** - 2, 3 или 4 неудачи означают n-2, n-3, или n-4 успехов. - Общее количество: $$\binom{n}{n-2} + \binom{n}{n-3} + \binom{n}{n-4}$$ или $$\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4}$$ **Итоговые формулы:** а) $$\binom{n}{2} + \binom{n}{3}$$ б) $$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5}$$ в) $$\binom{n}{4} + \binom{n}{6} + \binom{n}{9}$$ г) $$\binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}$$ д) $$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$$ е) $$\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4}$$ **Объяснение:** В каждом пункте мы используем формулу числа сочетаний, чтобы найти количество способов, которыми можно получить определенное количество успехов (или неудач) в серии из n испытаний. Складывая эти значения, мы находим общее количество благоприятствующих событий. Например, $$\binom{n}{k}$$ означает сколько есть способов выбрать ровно k успехов из n испытаний, если не важен их порядок.