4.16. Геометрически поясните, почему должно быть верно неравенство 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/1024 < 1 (рис. 4.35).

Рассмотрим квадрат со стороной 1, площадь которого равна 1. Последовательно отрезаем половину оставшейся части: площади отрезанных частей равны \(\frac12,\frac14,\frac18,\ldots,\frac1{1024}\). После десяти таких шагов остаётся квадрат (или прямоугольник) площадью \(\frac1{1024}>0\).

Значит, сумма площадей отрезанных частей меньше площади исходного квадрата. Это и даёт требуемое неравенство:

\[\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{1024}<1.\]

Алгебраическая проверка: \(\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{1024}=1-\frac1{1024}=\frac{1023}{1024}<1\).