4.2. Даны прямая a и четыре точки A, B, C, D, не принадлежащие этой прямой. Пересекает ли эту прямую отрезок AD, если: а) отрезки AB, BC и CD пересекают прямую a; б) отрезки AC и BC пересекают прямую a, отрезок BD не пересекает; в) отрезки AB и CD пересекают прямую a, отрезок BC не пересекает; г) отрезки AB и CD не пересекают прямую a, отрезок BC пересекает; д) отрезки AB, BC и CD не пересекают прямую a; е) отрезки AC, BC и BD пересекают прямую? Изобразите данные ситуации.

Используем признак: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой.

1. а) Да. После трёх переходов через прямую точки A и D оказываются по разные стороны от неё.
2. б) Нет. Из пересечения AC следует, что A и C находятся по разные стороны. Из пересечения BC следует, что B и C находятся по разные стороны, значит A и B находятся по одну сторону. Отрезок BD не пересекает прямую, поэтому D находится с B по одну сторону, а значит, с A тоже.
3. в) Нет. Из того, что AB пересекает прямую, точки A и B по разные стороны. Отрезок BC не пересекает прямую, поэтому B и C по одну сторону. Из пересечения CD следует, что D находится по другую сторону от C, то есть по ту же сторону, что и A.
4. г) Да. Отрезки AB и CD не пересекают прямую, поэтому A,B — в одной полуплоскости, а C,D — в одной. Отрезок BC пересекает прямую, значит эти полуплоскости разные; следовательно, AD пересекает прямую.
5. д) Нет. Все четыре точки находятся в одной полуплоскости.
6. е) Да. Из пересечения AC точки A и C лежат по разные стороны. Из пересечения BC точки B и C лежат по разные стороны, значит A и B по одну сторону. Из пересечения BD следует, что D по другую сторону, чем B, то есть по другую сторону, чем A.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) нет; е) да.