4.2. Равносильны ли уравнения: 1) x + 6 = 10 и 2x − 1 = 7; 2) x² = x и x = 1; 3) x² + 1 = 0 и 3/(x − 1) = 0; 4) (x + 1)/(x + 1) = 1 и (x² + 1)/(x² + 1) = 1; 5) (x − 2)/(x − 2) = 0 и 2x² + 3 = 0; 6) x² + 4x + 4 = 0 и (x + 2)/(x − 1) = 0; 7) (x² − 9)/(x − 3) = 0 и x + 3 = 0; 8) (x + 1)/(x + 1) = 0 и (x² − 1)/(x² − 1) = 0?

Первое уравнение: \(x=4\). Второе: \(2x-1=7\), поэтому \(x=4\). Множества корней совпадают.

Ответ: равносильны.

\(x^2=x\), откуда \(x(x-1)=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=1\). Второе уравнение имеет корень \(x=1\).

Ответ: неравносильны.

Уравнение \(x^2+1=0\) действительных корней не имеет. Дробь равна нулю только при нулевом числителе, но \(3\ne0\), поэтому второе уравнение также корней не имеет.

Ответ: равносильны.

В первом уравнении \(x\ne-1\), и при всех допустимых \(x\) равенство выполняется. Во втором знаменатель \(x^2+1\ne0\) при любом действительном \(x\), поэтому подходят все действительные числа.

Ответ: неравносильны.

В первом уравнении \(x\ne2\), а числитель \(x-2\) не равен нулю при допустимых значениях, поэтому корней нет. Во втором уравнении \(2x^2+3=0\) действительных корней нет.

Ответ: равносильны.

\(x^2+4x+4=(x+2)^2=0\), поэтому \(x=-2\). Во втором уравнении числитель равен нулю при \(x=-2\), знаменатель не равен нулю: \(-2-1\ne0\).

Ответ: равносильны.

В первом уравнении \(x\ne3\). Сокращать множитель \(x-3\) можно только с учётом этого ограничения: \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=0\), значит \(x+3=0\), то есть \(x=-3\). Второе уравнение также даёт \(x=-3\).

Ответ: равносильны.

В первом уравнении \(x\ne-1\), поэтому дробь не может быть равна нулю; корней нет. Во втором уравнении требуется одновременно \(x^2-1=0\) и \(x^2-1\ne0\), что невозможно.

Ответ: равносильны.