4.4. Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному: 1) в уравнении 3(2x − 1) − 5(4x + 2) = 1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые; 2) в уравнении x² + 1/(x − 7) − 1/(x − 7) = 49 разность 1/(x − 7) − 1/(x − 7) заменить нулём; 3) в уравнении (x² − 1)/(x − 1) + 3x − 5 = 0 сократить дробь; 4) обе части уравнения x³ = x разделить на x; 5) обе части уравнения (x + 1)(x² + 4) = x² + 4 разделить на x² + 4; 6) обе части уравнения x²/x = 2 умножить на x; 7) обе части уравнения 2x + 1 = 5 умножить на x + 1?

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых — равносильные преобразования.

Ответ: да.

Ограничение: \(x\ne7\). Разность одинаковых дробей равна нулю при допустимых \(x\), поэтому преобразование равносильно.

Ответ: да.

Ограничение: \(x\ne1\). После сокращения получаем \(x+1+3x-5=0\), то есть \(4x-4=0\), \(x=1\), но этот корень запрещён. Если ограничение сохранить, преобразование равносильно.

Ответ: да, при сохранении ограничения \(x\ne1\).

Деление на \(x\) требует ограничения \(x\ne0\). Исходное уравнение имеет корни \(x=-1,0,1\), а после деления получится \(x^2=1\), поэтому корень \(0\) теряется.

Ответ: нет.

\(x^2+4\ne0\) для любого действительного \(x\), поэтому деление допустимо. Получаем \(x+1=1\), то есть \(x=0\).

Ответ: да.

В исходном уравнении \(x\ne0\). Умножение на \(x\) при этом допустимо и даёт \(x^2=2x\).

Ответ: да, при сохранении ограничения \(x\ne0\).

Умножение обеих частей на выражение, зависящее от \(x\), сохраняет равносильность, если не вводятся ограничения и обе части умножаются на одно и то же выражение.

Ответ: да.