4. 3sin2x-4 sin x cos x + cos2x = 0.

Решение:

4. $$3\sin(2x) - 4 \sin x \cos x + \cos(2x) = 0$$

• Используем формулы двойного угла: $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$ и $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$.
• $$3(2\sin x \cos x) - 4 \sin x \cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$$
• $$6\sin x \cos x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = 0$$
• $$2\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = 0$$
• Разделим обе части на $$\cos^2 x$$ (предполагая, что $$\cos x
  eq 0$$).
• $$2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$
• $$2\tan x + 1 - \tan^2 x = 0$$
• $$\\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$$
• Пусть $$y = \tan x$$. Тогда $$y^2 - 2y - 1 = 0$$.
• Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$$.
• $$y = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$
• $$\\tan x = 1 + \sqrt{2}$$ или $$\\tan x = 1 - \sqrt{2}$$.
• $$x = \arctan(1 + \sqrt{2}) + \pi n$$ или $$x = \arctan(1 - \sqrt{2}) + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
• Проверим случай, когда $$\cos x = 0$$. Тогда $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$.
• $$\\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$$.
• $$\\cos(2x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$$.
• Подставим в исходное уравнение: $$3(0) - 4 \sin x \cos x + (-1) = 0$$, что дает $$-1 = 0$$, противоречие. Значит, $$\cos x
  eq 0$$.

Ответ: $$x = \arctan(1 + \sqrt{2}) + \pi n$$, $$x = \arctan(1 - \sqrt{2}) + \pi n$$, $$n \in \mathbb{Z}$$.