6. Найдите корни уравнения √3 sin 2x = cos 2x, принадлежащие отрезку [-2π; 2π).

Решение:

6. $$\\sqrt{3} \sin(2x) = \cos(2x)$$

• Перенесем все члены в одну сторону:
• $$\\sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = 0$$
• Разделим обе части на $$\\cos(2x)$$ (при условии, что $$\\cos(2x)
  eq 0$$).
• $$\\sqrt{3} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - 1 = 0$$
• $$\\sqrt{3} \tan(2x) = 1$$
• $$\\tan(2x) = \frac{1}{\\sqrt{3}}$$
• Основные значения $$2x$$, для которых $$\\tan(2x) = \frac{1}{\\sqrt{3}}$$, это $$2x = \frac{\pi}{6}$$ и $$2x = \frac{7\pi}{6}$$ (в пределах $$[0, 2\pi)$$).
• Общее решение: $$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
• $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
• Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $$[-2\pi, 2\pi)$$.
• $$n = -4: x = \frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - 2\pi = -\frac{23\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = -3: x = \frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 18\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = -2: x = \frac{\pi}{12} - \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = -1: x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 6\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = 0: x = \frac{\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = 1: x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = 2: x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi + 12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = 3: x = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 18\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$$. Это в отрезке.
• $$n = 4: x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$$. Это вне отрезка (больше $$2\pi$$).
• Проверим, было ли $$\\cos(2x) = 0$$. Если $$\\cos(2x) = 0$$, то $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$.
• Тогда $$\\sin(2x) = \pm 1$$.
• $$\\sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = \sqrt{3}(\pm 1) - 0 = \pm \sqrt{3} eq 0$$. Значит, $$\\cos(2x)$$ не равен нулю.

Ответ: $$x = -\frac{23\pi}{12}, -\frac{17\pi}{12}, -\frac{11\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$$.