4.435. Миша проезжает путь от дома до дачи за 30 мин, а его сестра — за 45 мин. Однажды по дороге на дачу Миша встретил сестру. Выяснилось, что сестра едет с дачи и что она выехала на 10 мин позже Миши. Через сколько времени после выезда сестры они встретились? Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише еще ехать до дачи?

Решение:

Обозначим весь путь от дома до дачи за 1.

Скорость Миши: \( V_м = \frac{1}{30} \) пути в минуту.

Скорость сестры: \( V_с = \frac{1}{45} \) пути в минуту.

Пусть \( t \) — время в минутах с момента выезда Миши до их встречи.

Расстояние, которое проехал Миша до встречи: \( S_м = V_м · t = \frac{t}{30} \).

Сестра выехала на 10 минут позже Миши, значит, она была в пути \( t - 10 \) минут.

Расстояние, которое проехала сестра до встречи (она ехала с дачи): \( S_с = V_с · (t - 10) = \frac{t - 10}{45} \).

Поскольку Миша ехал от дома до места встречи, а сестра — с дачи до места встречи, то сумма пройденных ими расстояний равна общему пути:

\( S_м + S_с = 1 \)

\( \frac{t}{30} + \frac{t - 10}{45} = 1 \)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (90):

\( 3t + 2(t - 10) = 90 \)

\( 3t + 2t - 20 = 90 \)

\( 5t = 110 \)

\( t = \frac{110}{5} = 22 \) минуты.

Это время с момента выезда Миши. Значит, они встретились через 22 минуты после выезда Миши.

1. Через сколько времени после выезда сестры они встретились?

Время в пути сестры до встречи: \( t - 10 = 22 - 10 = 12 \) минут.

2. Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише еще ехать до дачи?

Расстояние, которое Миша проехал до встречи: \( S_м = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} \) пути.

Оставшееся расстояние для Миши: \( 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} \) пути.

Время, которое Мише осталось ехать: \( \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{30}} = \frac{4}{15} \times 30 = \frac{120}{15} = 8 \) минут.

Ответ: Они встретились через 12 минут после выезда сестры. Мише пришлось ехать до дачи еще 8 минут.