4) 72 * (49^{1/2 * log_7 9 - log_7 6} + 5^{-log_{√5} 4})

Давай решим последнее, четвертое задание!

4) 72 · (49^{1/2 * log₇ 9 - log₇ 6} + 5^{-log_√5 4})

Разделим на две части: множитель 72 и выражение в скобках. Выражение в скобках тоже разобьем на два слагаемых.

Часть 1: Множитель 72

Это просто число 72.

Часть 2: Выражение в скобках

Слагаемое 1: 49^{1/2 * log₇ 9 - log₇ 6}

1. Сначала упростим показатель степени: $$1/2 · \log_7 9 - \log_7 6$$.
• $$1/2 · \log_7 9 = \log_7 9^{1/2} = \log_7 √9 = \log_7 3$$.
• Теперь показатель равен: $$\log_7 3 - \log_7 6$$.
• Используем свойство $$log_a b - log_a c = log_a (b/c)$$: $$\log_7 (3/6) = \log_7 (1/2)$$.
2. Теперь подставим в степень: $$49^{\log_7 (1/2)}$$.
• Заметим, что $$49 = 7^2$$.
• $$49^{\log_7 (1/2)} = (7^2)^{\log_7 (1/2)} = 7^{2 · \log_7 (1/2)}$$.
• Используем свойство $$k · \log_a b = \log_a b^k$$: $$7^{\log_7 (1/2)^2} = 7^{\log_7 (1/4)}$$.
• По основному свойству логарифма: $$7^{\log_7 (1/4)} = 1/4$$.

Слагаемое 2: 5^{-log_√5 4}

1. Разберемся с показателем степени $$-log_{√5} 4$$.
• $$√5 = 5^{1/2}$$.
• $$log_{√5} 4 = log_{5^{1/2}} 4$$.
• По свойству $$log_{a^m} b = 1/m · log_a b$$: $$log_{5^{1/2}} 4 = 1/(1/2) · log_5 4 = 2 · log_5 4$$.
• Используем свойство $$k · log_a b = log_a b^k$$: $$2 · log_5 4 = log_5 4^2 = log_5 16$$.
• Итак, показатель степени равен: $$-log_5 16$$.
2. Теперь подставим в степень: $$5^{-log_5 16}$$.
• Используем свойство $$a^{-b} = 1/a^b$$: $$5^{-\log_5 16} = 1 / 5^{\log_5 16}$$.
• По основному свойству логарифма: $$5^{\log_5 16} = 16$$.
• Получаем: $$1/16$$.

Теперь сложим два слагаемых в скобках:

$$1/4 + 1/16$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$4/16 + 1/16 = 5/16$$.

Наконец, умножим на 72:

$$72 · 5/16$$.

Можно сократить 72 и 16 на 8:

$$9 · 5/2 = 45/2$$.

Или в десятичной дроби:

$$22.5$$.

Ответ: 45/2 (или 22.5)