№4. А)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол АВС =156°, на луче АС отметили точку Д так, что ВС=СД и Д лежит между А и С, найдите АВД. Б) С лежит между А и Д.

Решение:

1. Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
2. Угол АВС = 156°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. Углы при основании равны: угол ВАС = угол ВСА = (180° - 156°) / 2 = 24° / 2 = 12°.
5. Д — точка на луче АС, Д лежит между А и С.
6. ВС = СД.
7. Рассмотрим треугольник ВСД. Так как ВС = СД, то треугольник ВСД — равнобедренный.
8. Угол ВСА является внешним углом треугольника ВСД.
9. Внешний угол равен сумме двух других углов. Угол ВСА = угол СВД + угол СДВ.
10. Углы при основании ВД в треугольнике ВСД равны: угол СВД = угол СДВ.
11. Угол ВСД является смежным с углом ВСА. Угол ВСД = 180° - угол ВСА = 180° - 12° = 168°.
12. В треугольнике ВСД: угол СВД + угол СДВ + угол ВСД = 180°.
13. 2 * угол СВД + 168° = 180°.
14. 2 * угол СВД = 180° - 168° = 12°.
15. Угол СВД = 12° / 2 = 6°.
16. Угол АВД = угол АВС + угол СВД.
17. Это неверно, так как Д лежит между А и С.
18. Рассмотрим треугольник ВСД. Угол ВСА = 12°.
19. Угол ВСД = 180° - 12° = 168°.
20. В равнобедренном треугольнике ВСД (ВС = СД): угол СВД = угол СДВ = (180° - 168°) / 2 = 12° / 2 = 6°.
21. Теперь найдем угол АВД.
22. Д лежит между А и С.
23. Угол АВС = 156°.
24. Угол СВД = 6°.
25. Угол АВД = угол АВС - угол СВД = 156° - 6° = 150°.
26. Часть Б: С лежит между А и Д.
27. Если С лежит между А и Д, то Д находится на продолжении луча АС за точку С.
28. ВС = СД. Треугольник ВСД — равнобедренный.
29. Угол ВСА = 12°.
30. Угол ВСД = 180° - 12° = 168°.
31. Угол СВД = угол СДВ = (180° - 168°) / 2 = 6°.
32. Угол АВД = угол АВС + угол СВД = 156° + 6° = 162°.

Ответ: А) 150°. Б) 162°.