4) Δ ABC – равносторонний. S_кв = 40√3 см. S_Δ=?

Решение:

На чертеже изображен равносторонний треугольник, в который вписан квадрат. Дана площадь квадрата \( S_{\text{кв}} = 40\sqrt{3} \text{ см}^2 \). Необходимо найти площадь равностороннего треугольника \( S_\Delta \).

Площадь квадрата равна \( S_{\text{кв}} = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата.

\( a^2 = 40\sqrt{3} \)

Сторона квадрата \( a = \sqrt{40\sqrt{3}} \) см.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( L \). Высота равностороннего треугольника \( h = \frac{L\sqrt{3}}{2} \).

Вписанный квадрат имеет сторону \( a \). Высота треугольника, к которому примыкает сторона квадрата, равна \( h \). Оставшаяся часть высоты равна \( h - a \).

Треугольник, образованный вершиной треугольника и двумя углами квадрата, подобен исходному треугольнику.

Отношение стороны квадрата к высоте треугольника, отсекаемого основанием квадрата, равно отношению основания этого треугольника к основанию исходного треугольника.

\( \frac{a}{h-a} = \frac{L}{L} = 1 \) (т.к. треугольник равносторонний, угол при вершине 60 градусов).

\( a = h - a \) => \( h = 2a \).

Подставим значение \( a = \sqrt{40\sqrt{3}} \):

\[ h = 2\sqrt{40\sqrt{3}} \]

Теперь найдем сторону треугольника \( L \) из формулы высоты \( h = \frac{L\sqrt{3}}{2} \):

\[ L = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 2\sqrt{40\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{40\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} \]

Площадь равностороннего треугольника \( S_\Delta = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4} \).

\( L^2 = \left(\frac{4\sqrt{40\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{16 \times 40\sqrt{3}}{3} = \frac{640\sqrt{3}}{3} \)

\[ S_\Delta = \frac{\frac{640\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{640 \times 3}{3}}{4} = \frac{640}{4} = 160 \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 160 \text{ см}^2 \).