4. ABCD — ромб (рис. 3), ∠COM = 60°, DM = 2 см. Найдите периметр ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠COD = 90°. Так как луч OM лежит внутри угла COD, ∠MOD = 90° − 60° = 30°.

Треугольник OMD прямоугольный, причём DM = 2 см лежит напротив угла 30°. Значит, OD = 2 · DM = 4 см, а OM = 2√3 см.

В треугольнике OMC угол M равен 90°, а угол O — 60°. Следовательно, MC = OM · tg 60° = 2√3 · √3 = 6 см.

Точки C, M и D лежат на одной стороне ромба, поэтому CD = CM + MD = 6 + 2 = 8 см. Периметр ромба равен 4 · 8 = 32 см.

Ответ: 32 см.