№ 4. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, DM = MD₁. Найти угол между прямыми AD₁ и BM.

Равенство \(DM=MD_1\) означает, что \(M\) — середина ребра \(DD_1\). Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(D_1(0;a;a)\). Тогда \(M(0;a;\frac a2)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AD_1}=(0;a;a)\), \(\overrightarrow{BM}=(-a;a;\frac a2)\). Их скалярное произведение равно \(\frac32a^2\), а длины — \(a\sqrt2\) и \(\frac32a\). Поэтому косинус угла между ними равен \(\frac{\frac32a^2}{a\sqrt2\cdot\frac32a}=\frac1{\sqrt2}\).

Ответ: 45°.