4. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в е² раз (е — основание натурального логарифма) за 100 мс. Определить коэффициент затухания (в с⁻¹).

Решение:

Дано:

\( \Delta A \) — изменение амплитуды

\( \tau = 100 \) мс = \( 0.1 \) с

\( A_0 / A = e^2 \) (амплитуда уменьшилась в \( e^2 \) раз)

Найти:

\( \beta \) — коэффициент затухания (в с⁻¹)

Решение:

Уравнение затухающих колебаний имеет вид: \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \), где \( A(t) \) — амплитуда в момент времени \( t \), \( A_0 \) — начальная амплитуда, \( \beta \) — коэффициент затухания.

По условию, через \( \tau = 0.1 \) с амплитуда уменьшилась в \( e^2 \) раз. Это означает, что отношение начальной амплитуды к конечной равно \( e^2 \):

\[ \frac{A_0}{A(\tau)} = e^2 \]

Подставим выражение для \( A(\tau) \) из уравнения затухающих колебаний:

\[ \frac{A_0}{A_0 e^{-\beta \tau}} = e^2 \]

Сократим \( A_0 \):

\[ \frac{1}{e^{-\beta \tau}} = e^2 \]

\[ e^{\beta \tau} = e^2 \]

Приравниваем показатели степени:

\[ \beta \tau = 2 \]

Выражаем \( \beta \):

\[ \beta = \frac{2}{\tau} \]

Подставляем значение \( \tau = 0.1 \) с:

\[ \beta = \frac{2}{0.1} \text{ с}^{-1} \]

\[ \beta = 20 \text{ с}^{-1} \]

Ответ: Коэффициент затухания равен 20 с⁻¹.