4. АВЕК — прямоугольник (см. рис. 12). О — точка пересечения диагоналей. ВК = 50, ВА = 48, АК = 14, ∠ЕВК = α. Запишите величины: АЕ, PАЕК, ∠АВК, ∠ВЕО, ∠ВОЕ.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. В треугольнике АВК стороны 14, 48 и 50 согласуются: \(14^2+48^2=50^2\).

1. АЕ — диагональ прямоугольника, поэтому АЕ = ВК = 50.
2. В треугольнике АЕК стороны равны 50, 48 и 14: P_АЕК = 50 + 48 + 14 = 112.
3. Угол АВЕ прямой, а луч ВК делит его на углы АВК и ЕВК. Следовательно, ∠АВК = 90° − α. Из треугольника АВК: \(\tan\alpha=48/14=24/7\), то есть \(\alpha=\arctan(24/7)\).
4. Диагональ ВК образует с горизонтальной стороной угол α; диагональ АЕ образует с горизонталью такой же угол. Поэтому ∠ВЕО = α.
5. Угол между лучами ОВ и ОЕ равен \(180°−2\alpha\).

Ответ: АЕ = 50; P_АЕК = 112; ∠АВК = 90° − α; ∠ВЕО = α; ∠ВОЕ = 180° − 2α, где \(\alpha=\arctan(24/7)\).