4. Боковая сторона трапеции равна меньшему основанию. Докажите, что диагональ трапеции лежит на биссектрисе ее острого угла.

Пусть в трапеции \(ABCD\) основания \(AB\) и \(CD\) параллельны, причём \(AB\) — большее основание, а боковая сторона \(AD\) равна меньшему основанию \(CD\). Проведём диагональ \(AC\).

1. В треугольнике \(ACD\) стороны \(AD\) и \(CD\) равны, поэтому он равнобедренный, а его углы при основании равны: \(\angle DAC=\angle ACD\).
2. Так как \(AB\parallel CD\), при секущей \(AC\) накрест лежащие углы равны: \(\angle ACD=\angle CAB\).
3. Следовательно, \(\angle DAC=\angle CAB\). Значит, диагональ \(AC\) делит угол \(DAB\) пополам.

Итак, диагональ \(AC\) лежит на биссектрисе острого угла трапеции.