4. Дан график функции. Определите по графику: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) нули функции; д) точки экстремума; е) наибольшее и наименьшее значение функции

Решение:

Рассмотрим данный график функции:

а) Область определения функции:

Это все допустимые значения \( x \) на графике. По оси \( x \) график простирается от -4 до 4. На краях имеются закрашенные точки, что означает включение этих значений.

Ответ: \( [-4; 4] \).

б) Множество значений функции:

Это все допустимые значения \( y \) на графике. По оси \( y \) график простирается от -2 до 2. На краях имеются закрашенные точки, что означает включение этих значений.

Ответ: \( [-2; 2] \).

в) Промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает, когда график идет вверх слева направо. Это происходит на промежутке \( [-4; -1] \) и \( [1; 4] \).
• Функция убывает, когда график идет вниз слева направо. Это происходит на промежутке \( [-1; 1] \).

Ответ: возрастает на \( [-4; -1] \) и \( [1; 4] \), убывает на \( [-1; 1] \).

г) Нули функции:

Это точки, где график пересекает ось \( x \), то есть \( y = 0 \). График пересекает ось \( x \) в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Ответ: \( x = -3, x = 3 \).

д) Точки экстремума:

Точки экстремума — это точки, где функция меняет свое направление (с возрастания на убывание или наоборот). Это локальные максимумы и минимумы.

• Локальный максимум находится в точке \( x = -1 \).
• Локальный минимум находится в точке \( x = 1 \).

Ответ: \( x = -1 \) (максимум), \( x = 1 \) (минимум).

е) Наибольшее и наименьшее значение функции:

Наибольшее значение функции — это максимальное значение \( y \) на всем промежутке определения. Наименьшее значение — это минимальное значение \( y \) на всем промежутке определения.

• Наибольшее значение функции равно \( 2 \) (достигается при \( x = -1 \)).
• Наименьшее значение функции равно \( -2 \) (достигается при \( x = 1 \)).

Ответ: Наибольшее значение \( y = 2 \), наименьшее значение \( y = -2 \).