5. В группе 25 студентов. Из них 12 юношей и 13 девушек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это юноши?

Решение:

Общее количество студентов в группе: \( N = 25 \).

Количество юношей: \( n_{юношей} = 12 \).

Количество девушек: \( n_{девушек} = 13 \).

Нужно найти вероятность того, что к доске будут вызваны двое учащихся, и оба окажутся юношами.

1. Найдем общее число способов выбрать двух учащихся из 25. Это число сочетаний: \( C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25!}{2!23!} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 25 \cdot 12 = 300 \).
2. Найдем число способов выбрать двух юношей из 12. Это также число сочетаний: \( C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66 \).
3. Вероятность того, что оба вызванных ученика — юноши, равна отношению числа способов выбрать двух юношей к общему числу способов выбрать двух учащихся: \( P(\text{оба юноши}) = \frac{\text{Число способов выбрать 2 юношей}}{\text{Общее число способов выбрать 2 учащихся}} = \frac{C_{12}^2}{C_{25}^2} \).
4. \( P(\text{оба юноши}) = \frac{66}{300} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{66}{300} = \frac{11}{50} \).
6. Переведем в десятичную дробь: \( \frac{11}{50} = 0.22 \).

Ответ: \( \frac{11}{50} \) или \( 0.22 \).