4. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого ∠D-прямой, катет AD=3 см и ∠DAC=30°. Найдите: а) остальные стороны AADC б) площадь AADC в) длину высоты, проведенной к гипотенузе.

а) 1. Находим катет CD: $$\tan(30°) = \frac{CD}{AD} \implies CD = AD \times \tan(30°) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ см.

2. Находим гипотенузу AC: $$\cos(30°) = \frac{AD}{AC} \implies AC = \frac{AD}{\cos(30°)} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ см.

б) Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \times AD \times CD = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ см$$^2$$.

в) Находим высоту h к гипотенузе: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times h \implies h = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \times (3\sqrt{3}/2)}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1.5$$ см.