4. Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } -4\le x\le -1;\\ \frac{1}{2}x, & \text{если } -1<x<2.\end{cases}$ а) Вычислите: $f(-4), f(-1), f(1)$. б) Постройте график функции $y=f(x)$. в) Опишите свойства функции $y=f(x)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Дана функция $y=f(x)$, где \(f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } -4\le x\le -1;\\ \frac{1}{2}x, & \text{если } -1$ Фото задания

4. Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } -4\le x\le -1;\\ \frac{1}{2}x, & \text{если } -1<x<2.\end{cases}$ а) Вычислите: $f(-4), f(-1), f(1)$. б) Постройте график функции $y=f(x)$. в) Опишите свойства функции $y=f(x)$.

Accepted Answer

а) Подставим значения аргумента в соответствующие ветви функции:

$f(-4)=(-4)^2=16$; $f(-1)=(-1)^2=1$, поскольку $-1$ входит в первый промежуток; $f(1)=\frac12\cdot1=\frac12$.

б) На промежутке $[-4,-1]$ график — часть параболы $y=x^2$, включая точки $(-4,16)$ и $(-1,1)$. На промежутке $(-1,2)$ график — часть прямой $y=\frac12x$: точка $(-1,-\frac12)$ выколота, а точка $(2,1)$ не входит в график.

в) Область определения: $[-4,2)$. Функция убывает на $[-4,-1]$ и возрастает на $(-1,2)$. Наименьшее значение равно $-\frac12$ и не достигается: значения второй ветви стремятся к нему при $x\to-1+$. Наибольшее значение равно $16$ и достигается при $x=-4$. Нуль функции: $x=0$. Область значений: $(-\frac12,1)\cup[1,16]=(-\frac12,16]$.

Ответ: $f(-4)=16$, $f(-1)=1$, $f(1)=\frac12$; область определения $[-4,2)$, область значений $(-\frac12,16]$.