4. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из вершины B к большему основанию AD, делит его на отрезки, равные полуразности и полусумме оснований.

Пусть \(H\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(B\) на \(AD\), а \(K\) — основание перпендикуляра из \(C\) на \(AD\). Тогда \(HK=BC\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\). Их гипотенузы равны, поскольку боковые стороны равнобедренной трапеции равны: \(AB=CD\). Катеты \(BH\) и \(CK\) равны как расстояния между параллельными основаниями. Следовательно, треугольники равны, поэтому \(AH=KD\).

Так как \(AD=AH+HK+KD\), получаем \(AD=2AH+BC\), откуда \(AH=\frac{AD-BC}{2}\). Кроме того, \(HD=HK+KD=BC+AH=\frac{AD+BC}{2}\).

Значит, перпендикуляр делит большее основание на отрезки, равные полуразности и полусумме оснований.