4. Дана трапеция ABCD, BC ∥ AD. Известно, что ∠CAD на 20° больше ∠BAC, а углы ∠BDC и ∠BDA относятся как 1 : 2. Докажите, что AB = CD.

По записанным условиям утверждение не следует. Обозначим ∠BAC = x, ∠BDC = p. Тогда ∠CAD = x + 20°, а из отношения углов ∠BDA = 2p.

Из параллельности BC ∥ AD следует ∠DBC = 2p и ∠BCD = 180° − 3p. По теореме синусов в треугольниках ABD и BCD:

AB = BD · sin(2p) / sin(2x + 20°), а CD = BD · sin(2p) / sin(3p).

Равенство AB = CD потребовало бы дополнительного условия sin(2x + 20°) = sin(3p), которого в задании нет. Например, x = 30°, p = 20° удовлетворяют угловым условиям, но углы треугольников ABD и BCD дают AB ≠ CD. Вероятно, в условии пропущено или неверно записано условие. По имеющимся данным доказать требуемое равенство нельзя.