4. Дано: ABCD — прямоугольник; ∠ADB : ∠CDB = 4 : 5. Найдите углы треугольника AOB.

Вершинный угол прямоугольника при D равен 90°. Пусть \(\angle ADB=4x\), а \(\angle CDB=5x\). Тогда \(4x+5x=90°\), откуда \(x=10°\). Следовательно, \(\angle ADB=40°\), \(\angle CDB=50°\).

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OA=OB\). Треугольник AOB равнобедренный. Угол при B равен углу между BA и BD, то есть \(\angle ABD=\angle CDB=50°\). Значит, \(\angle BAO=50°\). Тогда \(\angle AOB=180°-50°-50°=80°\).

Ответ: \(\angle BAO=50°\), \(\angle ABO=50°\), \(\angle AOB=80°\).