4. Дано: ABCD — прямоугольник, BE \(\perp\) AC, BF \(\perp\) AC, AE = 6, EF = 16. Найти: AB, BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем AB. В прямоугольном треугольнике ABC, проведен перпендикуляр BE к гипотенузе AC. По свойству высоты прямоугольного треугольника: \( AB^2 = AE \cdot AC \).
2. Нам дано AE = 6, EF = 16. Так как E и F лежат на AC, то AC = AE + EF = 6 + 16 = 22.
3. \( AB^2 = 6 \cdot 22 = 132 \).
4. \( AB = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33} \)
5. Найдем BC. Используем теорему Пифагора в треугольнике ABC: \( BC^2 = AC^2 - AB^2 \).
6. \( BC^2 = 22^2 - 132 = 484 - 132 = 352 \).
7. \( BC = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22} \)

Ответ: AB = \( 2\sqrt{33} \), BC = \( 4\sqrt{22} \).