4. Дано: ABCD — прямоугольник, CD = 30; E, F, M и N — середины его сторон. По рисунку угол между диагональю AC и стороной CD равен 60°. Найти PEFMN.

Четырёхугольник EFMN соединяет середины сторон прямоугольника. По теореме о средней линии его стороны равны половинам диагоналей прямоугольника; все четыре стороны равны, а периметр равен удвоенной длине диагонали ABCD.

В прямоугольном треугольнике ACD диагональ AC — гипотенуза, а CD = 30 — катет, прилежащий к углу 60°.

\(\cos 60^\circ=\frac{CD}{AC}\), откуда \(AC=\frac{30}{\cos 60^\circ}=60\).

Следовательно, \(P_{EFMN}=2AC=2\cdot60=120\).

Ответ: 120.