4. Дано: ABCD — прямоугольник, CD = 30, ∠ между AC и FM равен 60°. Найти P_EFMN.

По засечкам E, F, M и N — середины сторон прямоугольника. Обозначим AB = CD = 30, а BC = AD = w. Угол 60° на чертеже образован диагональю AC и отрезком FM.

Отрезок FM соединяет середины BC и CD, поэтому FM параллелен диагонали BD. Следовательно, угол между AC и BD равен 60°.

Диагонали прямоугольника имеют направления, симметричные относительно горизонтали. Если α — угол диагонали AC с горизонтальной стороной AD, то угол между диагоналями равен 2α. Значит, 2α = 60°, откуда α = 30°.

В прямоугольном треугольнике ADC: tan 30° = CD / AD = 30 / w, поэтому w = 30√3. Тогда диагональ AC = √(30² + (30√3)²) = 60.

Каждая сторона четырехугольника EFMN равна половине диагонали прямоугольника: EF = FM = MN = NE = 30. Поэтому P_EFMN = 4 · 30 = 120.

Ответ: 120.