4. Дано: ABCD — прямоугольник, CD = 30. Найти P_EFMN. На рисунке E, F, M, N — середины сторон прямоугольника; угол между AC и CD равен 60°.

Пусть диагональ прямоугольника AC равна d. Угол между AC и CD равен 60°, поэтому в прямоугольном треугольнике ACD:

\(\cos 60^\circ=\frac{CD}{AC}=\frac{30}{d}.\)

Так как \(\cos 60^\circ=\frac12\), получаем \(d=60\).

Каждая сторона четырёхугольника EFMN соединяет середины двух соседних сторон прямоугольника. По теореме о средней линии соответствующего треугольника она равна половине диагонали прямоугольника: \(EF=FM=MN=NE=\frac{d}{2}=30\).

\(P_{EFMN}=4\cdot30=120.\)

Ответ: 120.