4. Дано: BC = 4, AD = 8, ∠A = 45°, AB = CD. Найдите площадь трапеции ABCD.

Опустим из точки C перпендикуляр на основание AD; обозначим его основание через E. Тогда \(CE\) — высота трапеции. Так как \(AB=CD\), а трапеция равнобедренная, выступы оснований по краям равны: \(AE=FD\), где F — основание перпендикуляра из B на AD.

Разность оснований равна \(AD-BC=8-4=4\), поэтому каждый выступ равен \(4:2=2\). В прямоугольном треугольнике AFB угол A равен 45°, следовательно, его катеты равны: высота \(BF=AF=2\). Значит, высота трапеции равна 2.

\(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{8+4}{2}\cdot2=12\).

Ответ: 12.