4*. Дано: ДЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Нахождение длины отрезка EP:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle EPM \) (угол \( \angle EPM = 90^{\circ} \)).
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.
3. В \( \triangle EPM \) катет \( EP \) лежит против угла \( \angle EMP = 30^{\circ} \) (так как \( \angle MEP = 30^{\circ} \) и \( \angle EPM = 90^{\circ} \), то \( \angle EMP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)).
4. Ошибка в условии: катет \( MP \) лежит против угла \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
5. Поэтому \( MP = \frac{1}{2} ME \).
6. \( MP = \frac{1}{2} \cdot 10 \) см \( = 5 \) см.
7. Теперь найдём катет \( EP \) по теореме Пифагора: \( EP^2 + MP^2 = ME^2 \).
8. \( EP^2 + 5^2 = 10^2 \).
9. \( EP^2 + 25 = 100 \).
10. \( EP^2 = 100 - 25 \).
11. \( EP^2 = 75 \).
12. \( EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.
13. Приблизительное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
14. \( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.
15. Таким образом, длина отрезка \( EP \) заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Нахождение длины медианы PD:

1. Медиана \( PD \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle EPM \) соединяет вершину прямого угла \( \angle P \) с серединой гипотенузы \( EM \).
2. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. \( PD = \frac{1}{2} ME \).
4. \( PD = \frac{1}{2} \cdot 10 \) см \( = 5 \) см.

Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.