4. Даны два числа: a = 2³ · 3² · 5, b = 2³ · 3 · 5. Найдите: а) НОД (a, b); б) НОК (a, b); в) Докажите, что НОД (a, b) · НОК (a, b) = a · b.

Даны: \(a=2^3\cdot3^2\cdot5\), \(b=2^3\cdot3\cdot5\).

а) НОД: берём общие простые множители в наименьших степенях:

\(\mathrm{НОД}(a,b)=2^3\cdot3\cdot5=120\).

б) НОК: берём простые множители в наибольших степенях:

\(\mathrm{НОК}(a,b)=2^3\cdot3^2\cdot5=360\).

в) Проверка равенства:

\(\mathrm{НОД}(a,b)\cdot\mathrm{НОК}(a,b)=120\cdot360=43200\).

\(a\cdot b=(2^3\cdot3^2\cdot5)(2^3\cdot3\cdot5)=2^6\cdot3^3\cdot5^2=43200\).

Левые и правые части равны, следовательно, \(\mathrm{НОД}(a,b)\cdot\mathrm{НОК}(a,b)=a\cdot b\).

Ответ: а) НОД\((a,b)=120\); б) НОК\((a,b)=360\); в) \(120\cdot360=43200=a\cdot b\).