4. Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Question

Вопрос:

4. Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Accepted Answer

Найдём векторы сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(0-(-6);5-1)=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6-0;-4-5)=(6;-9)\).

\(\overrightarrow{CD}=(0-6;-8-(-4))=(-6;-4)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(-6-0;1-(-8))=(-6;9)=-\overrightarrow{BC}\). Значит, противоположные стороны попарно параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Проверим перпендикулярность соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot6+4\cdot(-9)=36-36=0\). Следовательно, угол B прямой. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: ABCD — прямоугольник.