4) Диагональ АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABСД равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата равна 6.

1. Найдём сторону основания квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \( a \). По теореме Пифагора для диагонали квадрата: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

\[ 6^2 = 2a^2 \]\[ 36 = 2a^2 \]\[ a^2 = 18 \]\[ a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

2. Найдём апофему основания.

В основании правильной четырехугольной пирамиды, диагонали пересекаются в точке О. Точка О является центром квадрата. Длина отрезка ОС равна половине диагонали АС, то есть \( OC = 6/2 = 3 \).

3. Найдём боковое ребро SB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SOB \). В нём \( SO \) — высота пирамиды, \( OB \) — половина диагонали основания, \( SB \) — боковое ребро.

Длина \( OB \) равна половине диагонали \( BD \). Так как основание — квадрат, \( BD = AC = 6 \), значит \( OB = 6/2 = 3 \).

По теореме Пифагора для \( \triangle SOB \):

\[ SB^2 = SO^2 + OB^2 \]\[ SB^2 = 4^2 + 3^2 \]\[ SB^2 = 16 + 9 \]\[ SB^2 = 25 \]\[ SB = \sqrt{25} \]\[ SB = 5 \]

Ответ: 5