4. Длина биссектрисы, проведённой к стороне с треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле \( l_c = \sqrt{\frac{ab}{a+b}(1 - (\frac{c}{a+b})^2)} \). Треугольник имеет стороны 9, 18 и 21. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 21.

Решение:

В данном треугольнике стороны равны \( a = 9 \), \( b = 18 \), \( c = 21 \). Нам нужно найти длину биссектрисы, проведённой к стороне \( c = 21 \).

Подставим значения в формулу:

\[ l_c = \sqrt{\frac{9 \cdot 18}{9+18} \left( 1 - \left( \frac{21}{9+18} \right)^2 \right)} \]

Вычислим значения:

\[ \frac{9 \cdot 18}{9+18} = \frac{162}{27} = 6 \]

\[ \frac{21}{9+18} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \]

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

\[ l_c = \sqrt{6 \left( 1 - \left( \frac{7}{9} \right)^2 \right)} = \sqrt{6 \left( 1 - \frac{49}{81} \right)} = \sqrt{6 \left( \frac{81 - 49}{81} \right)} = \sqrt{6 \left( \frac{32}{81} \right)} \]

\[ l_c = \sqrt{\frac{6 · 32}{81}} = \sqrt{\frac{192}{81}} \]

Упростим корень:

\[ l_c = \frac{\sqrt{192}}{\sqrt{81}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 3}}{9} = \frac{8 \sqrt{3}}{9} \]

Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{9}\).