4. Доказательство. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AB = CD. Докажите, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠C.

Опустим из вершин B и C перпендикуляры BH и CK на прямую AD. Поскольку AD и BC параллельны, расстояние между этими прямыми постоянно, поэтому \(BH = CK\). Треугольники ABH и DCK прямоугольные, их гипотенузы равны (\(AB = CD\)), а катеты равны (\(BH = CK\)). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, соответствующие углы при основаниях равны: \(\angle A = \angle D\).

Так как основания параллельны, внутренние односторонние углы при каждой боковой стороне в сумме равны 180°: \(\angle A + \angle B = 180°\) и \(\angle D + \angle C = 180°\). Из \(\angle A = \angle D\) следует \(\angle B = \angle C\).

Доказано: \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\).