4. Докажите, что многочлен \(x^2-6xy+10y^2-2y+1\) при любых значениях \(x\) и \(y\) принимает неотрицательные значения.

Сгруппируем слагаемые и выделим квадраты:

\[x^2-6xy+10y^2-2y+1=(x^2-6xy+9y^2)+(y^2-2y+1)\]

\[=(x-3y)^2+(y-1)^2.\]

Каждый квадрат неотрицателен: \((x-3y)^2\ge 0\) и \((y-1)^2\ge 0\). Поэтому их сумма также неотрицательна.

Ответ: \(x^2-6xy+10y^2-2y+1=(x-3y)^2+(y-1)^2\ge 0\) при любых \(x\) и \(y\).