№ 4. Докажите, что многочлен x² − 6xy + 10y² − 2y + 1 при любых значениях x и y принимает неотрицательные значения.

Сгруппируем слагаемые и выделим полный квадрат:

\[x^2-6xy+10y^2-2y+1=(x-3y)^2+y^2-2y+1.\]

Во второй части также выделим полный квадрат:

\[(x-3y)^2+y^2-2y+1=(x-3y)^2+(y-1)^2.\]

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма квадратов неотрицательна при любых действительных x и y.

Ответ: многочлен принимает неотрицательные значения при любых x и y.