4. Докажите, что параллелограмм является прямоугольником, если диагонали образуют равные углы с одной из его сторон.

Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) образуют равные углы со стороной \(AB\). Так как \(AB\parallel CD\), равенство углов означает, что диагонали наклонены к направлению стороны \(AB\) симметрично.

Рассмотрим векторы диагоналей, исходящие из точки пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому их направления можно задать как \(u+v\) и \(u-v\), где \(u\) направлен вдоль стороны, а \(v\) — вдоль соседней стороны. Равные углы этих направлений с \(u\) дают равные по модулю проекции на \(u\), то есть \(|u\cdot(u+v)|/|u+v|=|u\cdot(u-v)|/|u-v|\). После возведения в квадрат и упрощения получаем \((u\cdot v)(|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2)=0\). Второй множитель положителен для невырожденного параллелограмма, поэтому \(u\cdot v=0\).

Следовательно, соседние стороны параллелограмма перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.