4. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, а $a^2-10a+25=(a-5)^2=(5-a)^2$.

Тогда выражение равно

\[\left(\frac{3}{(5-a)(a+5)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}.\]

Упростим выражение в скобках после умножения на $\frac{(5-a)^2}{2}$:

\[\frac{1}{2}\left(\frac{3(5-a)}{a+5}+1\right)+\frac{3a}{a+5}=\frac{1}{2}\cdot\frac{15-3a+a+5}{a+5}+\frac{3a}{a+5}.\]

\[=\frac{10-a}{a+5}+\frac{3a}{a+5}=\frac{10+2a}{a+5}=2.\]

Так как при $a\ne\pm5$ знаменатели исходного выражения не равны нулю, упрощение допустимо. Получено постоянное значение.

Ответ: выражение не зависит от $a$ и всегда равно 2.

4. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).