4. Докажите, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Доказательство:

Рассмотрим хорду AB окружности с центром O. Пусть M — середина хорды AB, и прямая LM — серединный перпендикуляр к хорде AB (то есть LM ⊥ AB и AM = MB).

Необходимо доказать: Центр окружности O лежит на прямой LM.

Пошаговое доказательство:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB — радиусы окружности, то OA = OB. Следовательно, треугольник AOB является равнобедренным.
2. Шаг 2: В равнобедренном треугольнике AOB, OM является медианой (так как M — середина AB) и высотой (так как OM ⊥ AB, по определению серединного перпендикуляра).
3. Шаг 3: Проведем прямую через центр O, которая перпендикулярна хорде AB.
4. Шаг 4: По теореме о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде, этот перпендикуляр делит хорду пополам. Таким образом, точка пересечения перпендикуляра с хордой AB является серединой этой хорды.
5. Шаг 5: Так как LM — серединный перпендикуляр к хорде AB, он проходит через середину хорды M и перпендикулярен ей.
6. Шаг 6: Центр O окружности обладает свойством, что перпендикуляр, опущенный из него на хорду, проходит через середину этой хорды.
7. Шаг 7: Следовательно, прямая LM, которая является серединным перпендикуляром к хорде AB, должна проходить через центр окружности O.

Вывод: Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.