4. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты A(-4; 1), B(-2; 4), C(1; 2).

Найдём длины двух сторон:

\(AB^2=(-2+4)^2+(4-1)^2=2^2+3^2=13\), поэтому \(AB=\sqrt{13}\).

\(BC^2=(1+2)^2+(2-4)^2=3^2+(-2)^2=13\), поэтому \(BC=\sqrt{13}\).

Следовательно, \(AB=BC\), значит, треугольник ABC равнобедренный.

Для площади используем координатную формулу:

\(S_{ABC}=\frac12\left| (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|\).

Подставим координаты: \(S_{ABC}=\frac12|2\cdot1-3\cdot5|=\frac{13}{2}\).

Ответ: треугольник равнобедренный, \(AB=BC\); площадь равна \(\frac{13}{2}\) квадратных единиц.